Question

初四数学求过程27题2

Answer 1

解：
（1）AB+AD=AC
证明：延长AD到E，使得AE=AC，连结CE
又∵∠BAC=∠DAC=(1/2)∠BAD=60°
∴△ACE是正三角形
∴AE=AC=CE，∠ACE=60°
∵∠ADC和∠ABC互补
∴∠ADC+∠ABC=180°
又∵∠ADC+∠ABC+∠BAD+∠BCD=360°且∠BAD=120°
∴∠BCD=60°
∴∠ACE=∠BCD=60°
即∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD
∴∠DCE=∠ACB
∵∠ADE=180°
即∠ADC+∠CDE=180°
又∵∠ABC+∠ADC=180°
∴∠CDE=∠ABC
在△CDE与△CBA中
∵∠DCE=∠BAC
∠CDE=∠CBA
CE=CA
∴△CDE≌△CBA
∴DE=AB
又∵AE=AC
即DE+AD=AC
∴AB+AD=AC
（2）AB+AD=(√2)AC
（3）过C作CH⊥AC交AD延长线于H，连结DH，过EM⊥AB，垂足M
∴∠ACH=90°
∵∠DAC=∠CAB=(1/2)∠BAD=45°
又∵∠DAC+∠AHC+∠ACH=180°
∴∠DAC=∠AHC=45°
∴△ACH是以C为直角的等腰直角三角形
∴CH=AC=(√2/2)AH
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°
又∵∠ADC+∠ABC=180°，∠BAD=90°
∴∠BCD=90°
∴∠ACH=∠BCD
即∠ACD+∠DCH=∠ACD+∠ACB
∴∠DCH=∠ACB
∵∠ADH=180°
即∠ADC+∠CDH=180°
又∵∠ADC+∠ABC=180°
∴∠CDH=∠ABC
在△ABC与△HDC中
∵∠ABC=∠HDC
∠ACB=∠HCD
HC=AC
∴△ABC≌△HDC
∴BC=DC，AB=HD
∴AB+AD=HD+AD=AH=(√2)AC=6
①
在直角三角形△BAD中
根据勾股定理有AD²+AB²=BD²
②
又∵AB>AD
③
∴根据①②③可以解得AD=2，AB=4
∵BC=DC，∠BCD=90°
∴△BCD是以C为直角的等腰直角三角形
∴∠CDB=45°
∴DB与DE重合
∴E就是BD与AC的交点，且B与F重合
∵EM⊥AB，DA⊥AB
∴EM//AD
∴EM/AD=EF/BD=FM/AB
设EF=x
则EM=x/(√5)，FM=2x/(√5)
∴AM=AB-FM=4-2x/(√5)
∵EM⊥AB，∠BAC=45°
∴△AEM是以M为直角的等腰直角三角形
∴EM=AM
∴x/(√5)=4-2x/(√5)
∴EF=x=(4√5)/3