Question

设Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,Sn^2=an(Sn-1/2)(n>2).求{an}的通项公式

Answer 1

本题应该是Sn^2=an(Sn-1/2)(n≥2)，否则只给a1=1，a2无法确定，数量an不确定。
当n≥3时，有Sn^2=an(Sn-1/2)=[Sn-S(n-1)](Sn-1/2)
化简得2SnS(n-1)=-Sn+S(n-1)
两边同除以SnS(n-1)得
1/Sn-1/S(n-1)=2
①
因S2^2=a2(S2-1/2)故(1+a2)^2=a2(1+a2-1/2)解得a2=-2/3，经验满足①式。
因S3^2=a3(S3-1/2)故(1-2/3+a3)^2=a3(1-2/3+a3-1/2)解得a3=-2/15，经验证也满足①式。
于是对于所有的n≥1，均有①式成立。
于是1/Sn是首项为1/S1=1/a1=1，公差为2的等差数列。于是有
1/Sn=1+2(n-1)=2n-1
Sn=1/(2n-1)
S(n-1)=1/(2n-3)
故当n≥2时，有an=Sn-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n-3)=2/[(2n-1)(2n-3)]
则数量an的通项公式为
a1=1；an=2/[(2n-1)(2n-3)]
，n≥2