Question

直线与圆锥曲线相交所得的弦长公式的推导

Answer 1

弦长=│x1-x2│√(k^2
1)=│y1-y2│√[(1/k^2)
1]
其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号
证明方法如下：
假设直线为:y=kx
b
圆的方程为：(x-a)^2
(y-u)^2=r^2
假设相交弦为ab，点a为（x1.y1)点b为(x2.y2)
则有ab=√(x1-x2)^2
(y1-y2)^
把y1=kx1
b.
y2=kx2
b分别带入,
则有：
ab=√（x1-x2)^2
(kx1-kx2)^2
=√(x1-x2)^2
k^2(x1-x2)^2
=√1
k^2*│x1-x2│
证明aby1-y2│√[(1/k^2)
1]
的方法也是一样的
证明方法二
d=√(x1-x2}^2
(y1-y2)^2
这是两点间距离公式
因为直线
y=kx
b
所以y1-y2=kx1
b-(kx2
b)=k(x1-x2)
将其带入
d=√(x1-x2)^2
(y1-y2)^2
得到
d=√(x1-x2)^2
[k(x1-x2)]^2
=√(1
k^2)(x1-x2)^2
=√(1
k^2)*√(x1-x2)^2
=√(1
k^2)*√(x1
x2)^2-4x1x2