设f(n)>0(n∈N*),f(2)=4,并且对任意n1,n2∈N*,f(n1+n2)=f(n1)f(n2)成立,猜想f(n)的表达式
2个回答
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猜想:f(n)=2^n
证明:
首先对于正整数n有f(n)=f(1)^n=2^n
f(0)=f(0)^2,则f(0)=0或1
若f(0)=0则f(n)=f(n+0)=f(n)f(0)=0与f(n)>0矛盾。因此有f(0)=1
f(1-1)=f(1)f(-1)=2f(-1)=1,所以f(-1)=1/2
f(-n)=f(-1)^n=2^(-n)
因此f(n)=2^n对所有整数都成立
证明:
首先对于正整数n有f(n)=f(1)^n=2^n
f(0)=f(0)^2,则f(0)=0或1
若f(0)=0则f(n)=f(n+0)=f(n)f(0)=0与f(n)>0矛盾。因此有f(0)=1
f(1-1)=f(1)f(-1)=2f(-1)=1,所以f(-1)=1/2
f(-n)=f(-1)^n=2^(-n)
因此f(n)=2^n对所有整数都成立
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