Question

设f(n)>0(n∈N*),f(2)=4,并且对任意n1,n2∈N*,f(n1+n2)=f(n1)f(n2)成立，猜想f(n)的表达式

Answer 1

猜想：f(n)=2^n
证明：
首先对于正整数n有f(n)=f(1)^n=2^n
f(0)=f(0)^2,则f(0)=0或1
若f(0)=0则f(n)=f(n+0)=f(n)f(0)=0与f(n)>0矛盾。因此有f(0)=1
f(1-1)=f(1)f(-1)=2f(-1)=1,所以f(-1)=1/2
f(-n)=f(-1)^n=2^(-n)
因此f(n)=2^n对所有整数都成立

Answer 2

∵f（2）=4，对于任意的n1，n2∈n*，f（n1+n2）=f（n1）f（n2）．
∴f（2）=f（1+1）=f（1）f（1）=22，
∴f（1）=21，
f（3）=f（2+1）=f（2）f（1）=22×21=23，
观察f（1）、f（2）、f（3）的值，
可猜想f（n）的一个解析式是f（n）=2n，
故答案为：2n；