Question

微积分中导数的定义运用问题

1.设f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充分必要条件是:(A)h趋向于0 lim f(1-cosh)/h平方存在;(B)h趋向于0 lim f(1-e的h次方)/h存在;(C)h趋向于0 lim f(h-sinh)/h的平方存在;(D))h趋向于0 lim f[(2h)-f(h)]/h存在。。答案是B,我想知道为什么其他三项是错误的，分别错在哪? 2.设x趋向于a lim[f(x)-b]/(x-a)=A,则[sinf(x)-sinb]/(x-a)=多少。。我看答案一开始就是补充定义f(a)=b，为什么可以这样补充呢?没有f(x)连续的前提呀!事实上，f(a)不一定=b吧?而且换算后有x趋向于a lim[sinf(x)-sinf(a)]/(x-a)=[sinf(x)]′ |x=a，可以这样写吗?没有f(x)函数可导的前提呀!只是在a点可导而已呀，那我怎么对sinf(x)求导后代入x=a呢?? 谢谢!

Answer 1

根据
导数
的
定义式
lim(h->0)f(x+h)-f(x)/h
式中注意
两点
:3个h必须一样且可以->0+
和0-
f(x)为确定的函数值
据此分析选项就可以了
A
lim(1-cosh)
f(1-cosh)(1-coosh)/(1-cosh)h
1-cosh只能->0+
C和A一样的错误
D中没有f(0)这一项
补充
定义
是为了凑出导数的定义式
lim[sinf(x)-sinf(a)]/(x-a)=[sinf(x)]′
|x=a这样写的
前提
是sinf(x)在
a点
可导
由补充的定义知f(x)在x=a处可导
所以sinf(x)在x=a处可导