Question

已知函数f（x）=x+2x-a，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）为奇函数，求a的值；...

已知函数f（x）=x+2x-a，其中a∈R． （Ⅰ）若f（x）为奇函数，求a的值； （Ⅱ）当a=1时，判断函数f（x）在（1，2]上的单调性，并用定义证明你的结论； （Ⅲ）证明：当θ∈（0，π2）时，sinθ+cosθ+1+sinθ+cosθsinθcosθ的最小值为32+2．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x+2x-a为奇函数，其中a∈R；
∴f（-x）+f（x）=（-x+2-x-a）+（x+2x-a）=0，
∴2x+a=2x-a，
∴a=0；
（Ⅱ）a=1时，函数f（x）=x+2x-1在（1，2]上是减函数，
用定义证明x1、x2∈（1，2]，且x1＜x2；
则f（x1）-f（x2）=（x1+2x1-1）-（x2+2x2-1）
=（x1-x2）[1-2(x1-1)(x2-1)]，
∵1＜x1＜x2≤2，∴x1-x2＜0；
∴（x1-1）（x2-1）＜(2)2-1=1，
∴1-2(x1-1)(x2-1)＜0；
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）是减函数；
（Ⅲ）证明：设sinθ+cosθ=t，∴t=2sin（θ+π4），
当θ∈（0，π2）时，22＜sin（θ+π4）≤1，∴1＜t≤2；
∵t2=1-2sinθcosθ，
∴sinθcosθ=t2-12；
∴sinθ+cosθ+1+sinθ+cosθsinθcosθ=t+1+tt2-12=t+2t-1；
又∵f（t）=t+2t-1在区间（1，2]上是减函数，
∴当t=2时，f（t）取得最小值为32+2．