Question

为什么|A|=0不是Ax=0有非零解的充要条件？

Answer 1

|A|=0可以推出AX=0但是不能确定x为非零
，x也可为零
。所以AX=0有非零解的充要条件是|A|=0且x不等于0。
A化到相抵标准型A=PDQ，其中P和Q可逆，D=diag{I_r,0}。
A的行列式为0说明D中的零块存在，或者说r小于A的阶数。
显然Dy=0有非零解，取x=Q^{-1}y即得Ax=PDy=0。
这一类的结论属于基本功，应该好好看教材。

Answer 2

注意你说的是非零解。这道题应该选第一个。
而且那样的方程总是有零解的。
把a看成n个列向量组成，比如a1,a2,...,an,
假设x的分量是x1,x2,...,xn,
那么ax可以写成
a1,a2,...,an的线性组合，组合系数就是那些x的分量，即：ax=x1a1+...+xnan.由此很明显地看出来，ax=0有非零解的充分必要条件是0可以写成那些列向量的非平凡的线性组合(也就是组合系数不全为零的线性组合)，而后者就等价于说a的列向量线性相关。
补充：那样的方程只有零解的充要条件才是b