Question

拓扑中 闭集的定义？

Answer 1

当然不是，有这种性质的映射称为是闭映射。同样类似有开映射的定义。至于反例就太多了。例如：假设
x={a,b}
是两个点构成的集合。定义两种拓扑：第一种的开集是
空集，{a},
{b},
{a,b}.第二种的开集是
空集，{a},{a,b}.
定义映射
x->x
为常值映射
a->a,
b->a.
显然
{b}
是第一种拓扑中的闭集（因为补集{a}是开集),
而
{a}
在第二种拓扑中是开集，不可能是闭集（因为补集{b}
不是开集）！
甚至还可以更病态：恒同映射都不一定满足这种性质，比如同样这个例子，将第二种拓扑的开集定义为
空集，{a,b}.
此时恒同映射就不是闭映射！拓扑学之所以有这种奇怪的性质的原因是因为拓扑的性质太弱了，随意性太大，所以一般情况下要讨论东西都必须加一些限制条件。