Question

当0<x<π/2时,证明:2/πx<sinx<x

Answer 1

这是函数类不等式的证明，对待这种题型，就是要构造函数，利用单调性证明。
你题目写错了，左边的x
应该在分子上。
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解：先证左边，设f(x)＝sinx－x，
要证sinx＜x，只要证f(x)＜0，等价于证f(x)在(0，π/2)上的最大值小于0
求导
f'(x)＝cosx－1，
当0<x<π/2时，0＜cosx＜1，那么
f'(x)＝cosx－1＜0
∴
f(x)
在0<x<π/2时单调递减，∴最大值在左端点，f(x)＜f(0)＝0，即sinx＜x
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再证右边，设g(x)＝2x/π－sinx
，要证2x/π＜sinx，只要证g(x)＜0，等价于证g(x)在(0，π/2)上的最大值小于0
求导
g'(x)＝2/π－cosx，不能定号，再导
g''(x)＝sinx
显然，当0<x<π/2时，g''(x)＞0，这说明
g'(x)是单调递增的，
而g'(0)＝2/π－1＜0，g'(π/2)＝2/π＞0，g'(x)单调且连续，故存在唯一的
ξ∈(0，π/2)
使g'(ξ)＝0
于是在
(0，ξ)上，g'(x)＜0，在(ξ，π/2)
上g'(x)＞0
那么g(x)在
(0，ξ)上递减，在(ξ，π/2)
上递增，故g(x)的最大值必在端点处，
而g(0)＝0－0＝0，g(π/2)＝1－1＝0，两个端点都是最大值，由于开区间，故g(x)＜g(0)＝0，
即2x/π＜sinx
综上可知，2x/π＜sinx＜x

Answer 2

设f(x)=x-sinx
g(x)=sinx-2/πx
则有：f'(x)=1-cosx>=0
g'(x)=cosx-2/π
所以f(x)是增函数
f(x)>f(0)=0
即：x>sinx
所以g(x)是先增后减，最小值为g(0)或g(π/2)
通过计算得到两都均为0，所以g(x)>0
即sinx>2/πx
所以：2/πx<sinx<x

Answer 3

最有趣的证明应该是在单位圆中用定义证，sinx是弦长，x是弧长。
wqnjnsd
的证明也很直接，但还可严密一点，叫罗嗦一点也行：
当x>1时，显然成立。
当0
0,
即f(x)
为单调增函数。
f(0+)
=
0-sin0
=
0
所以
f(x)>0,
即
sinx
<
x