Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n∈N+，数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an（1）求数列{an}和{bn}

Answer 1

解：1、
因为sn=2-an
所以s(n-1)=2-a(n-1)
当n≥2时，有an=sn-s(n-1)=2-an-(2-a(n-1)
即an=a(n-1)-an
即an=(1/2)a(n-1)
由sn=2-an及s1=a1得a1=2-a1
所以a1=1
所以数列{an}是以1/2为公比，1为首项的等比数列
所以an=(1/2)^(n-1)
当n=1时适合an=(1/2)^(n-1)
所以数列{an}的通项是an=(1/2)^(n-1)
由b(n+1)=bn+an得
b(n+1)-bn=(1/2)^(n-1)
于是有
b2-b1=1
b3-b2=1/2
b4-b3=(1/2)²
.....................
bn-b(n-1)=(1/2)^(n-2)
把以上累加得
bn-b1=1+1/2+(1/2)²+......+(1/2)^(n-2)
即bn-1=2[(1-(1/2)^(n-1)]
bn=3-(1/2)^(n-2)
所以cn=n(3-bn)=n/2^(n-2)
sn=c1+c2+c3+......+cn
sn=2+2+3/2+4/2²+5/2³+....+n/2^(n-2)
(1/2)sn=1+1+3/2²+4/2³+.....+(n-1)/2^(n-2)+n/2^(n-1)
上两式错项相减得
（1/2)sn=1+1+3/2+1/2²+1/2³+......+1/2^(n-2)-n/2^(n-1)
(1/2)sn=2+1+1/2+1/2²+1/2³+......+1/2^(n-2)-n/2^(n-1)
(1/2)sn=2+2(1-1/2^(n-1)-n/2^(n-1)
sn=8-(n+2)/2^(n-2)

Answer 2

（1）∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2，∴a1=1．
∵Sn=2-an，即an+Sn=2，∴an+1+Sn+1=2．
两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0．
即an+1-an+an+1=0，故有2an+1=an，
∵an≠0，∴
an+1
an
=
1
2
（n≥2），
∴an=（
1
2
）n-1．…（2分）
∵bn+1=bn+an（n=1，2，3，…），∴bn+1-bn=（
1
2
）n-1．
得b2-b1=1，b3-b2=
1
2
，b4-b3=（
1
2
）2，…，bn-bn-1=（
1
2
）n-2（n=2，3，…）．
将这n-1个等式相加，得
bn-b1=1+
1
2
+（
1
2
）2+（
1
2
）3+…+（
1
2
）n-2
=
1?(
1
2
)n?1
1?
1
2
=2-（
1
2
）n-2．
又∵b1=1，∴bn=3-（
1
2
）n-2（n=1，2，3…）．…（4分）
（2）证明：∵cn=n（3-bn）=2n（
1
2
）n-1．
∴Tn=2[(
1
2
)0+2×(
1
2
)+3×(
1
2
)2+…+n×(
1
2
)n?1]，①
1
2
Tn＝2[(
1
2
)+2×(
1
2
)2+3×(
1
2
)3+…+n×(
1
2
)