Question

已知 ,求一个可逆矩阵,使得是对角矩阵；并求出这一对角矩阵.

Answer 1

|λE-A| =
|λ 0 -1|
|0 λ -2|
|0 0 λ-1|
= λ^2(λ-1), 则 A 的特征值 λ = 0， 0， 1.
λ = 0 时， λE-A =
[0 0 -1]
[0 0 -2]
[0 0 -1]
初等行变换为
[0 0 1]
[0 0 0]
[0 0 0]
得特征向量 (1, 1, 0)^T, (1, -1, 0)^T;
λ = 1 时， λE-A =
[1 0 -1]
[0 1 -2]
[0 0 0]
得特征向量 (1, 2, 1)^T,
取可逆矩阵 P =
[1 1 1]
[1 -1 2]
[0 0 1]
则 P^(-1)AP = diag(0, 0, 1)