Question

关于柱面坐标系下的三重积分

Answer 1

积分区域是整个球体或者半个球体或由圆锥面与球面围成，可考虑球面坐标系；积分区域的边界是球面、圆锥面、圆柱面、旋转抛物面等，可考考虑柱面坐标系；肌敞冠缎攉等圭劝氦滑其余情况考虑直角坐标系。
上面是一般情况，有时候考虑到被积函数，坐标系的选择还会有变化，比如积分区域由平面z=1与旋转抛物面z=x^2+y^2围成，可用柱面坐标系，但如果被积函数f(x,y,z)=z，那么选择先xy后z的直角坐标的积分次序会让解题过程简单。

Answer 2

如果用x=ρcosθ;y=ρsinθ,则极径是从坐标原点发出的，此时θ的范围不是[0,2π],而且ρ和θ之间有函数关系。将x=ρcosθ;y=ρsinθ带入到圆的方程即可解出ρ(θ)。
如果用x=1+ρcosθ;y=ρsinθ，则极径是从圆心发出的，此时，θ的范围是[0,2π],ρ的范围是[0,R]
至于选用哪个，要看转换后的被积函数是否容易积分。
还有，柱坐标系中，以上两个选用哪个不影响z的积分限，而且dxdy仍然是ρdρdθ。
祝学习进步！