Question

设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标...

设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标 （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）记Tn=x12x32…x2n-12，证明：Tn≥14n．

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

解：（1）y'=（x2n+2+1）'=（2n+2）x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，
从而切线方程为y-2=（2n+2）（x-1）
令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为xn=1-1n+1=nn+1，
（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：
Tn=x12x32…x2n-12=(12)2(34)2•…•(2n-12n)2，
当n=1时，T1=14，
当n≥2时，因为x2n-12=(2n-12n)2=(2n-1)2(2n)2＞(2n-1)2-1(2n)2=2n-22n=n-1n，
所以Tn＞(12)2×12×23×…×n-1n=14n
综上所述，可得对任意的n∈N+，均有Tn≥14n