Question

求齐次方程

Answer 1

齐次方程（homogeneous equation）是数学的一个方程。指简化后的方程中所有非零项的指数相等。也叫所含各项关于未知数的次数。其方程左端是含未知数的项，右端等于零。通常齐次方程是求解问题的过渡形式，化为齐次方程后便于求解。
定义一
1、所含各项关于未知数具有相同次数的方程,例如

等。它们的左端,都是未知数的齐次函数或齐次多项式。2、右端为零的方程(组)亦称为齐次方程(组)，例如线性齐次(代数)方程组、齐次微分方程等。

定义二
1、线性方程乘积的导数。

或

等等为线性方程当

时称为齐次方程。

2、如果一个一阶微分方程

中的函数

可写成

的函数，即

，则这个方程是齐次方程。

释义
“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思。

微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：

1、形如

的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如

都算是二次项，而

算0次项，方程

中每一项都是0次项，所以是“齐次方程”。

2、形如

（其中p和q为关于x的函数）的方程称为“齐次线性方程”，这里“线性”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是相等的（都是一次），“齐次”是指方程中没有自由项（不包含y及其导数的项），方程

就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，因而就要称为“非齐次线性方程”。

另外在线性代数里也有“齐次”的叫法，例如

称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f中每一项都是关于x、y的二次项。

齐次方程的形式
如果一阶微分方程

中的函数

可写成

的函数，即

，则称这方程为齐次方程。例如

是齐次方程，因为其可化为

齐次方程的特点和解法
（1）特点：方程中每一项的次方相同，且都可以化为一般形式

。

（2）解法：令

，即

，则

，于是原方程可化为

，即

，成为可分离变量的微分方程，求解后再用

代替

即得原方程的通解。

Answer 2

齐次方程就是用平方或开根号的形式来统一次数，再移项合并同类项来计算