Question

已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n，数列{bn}是正项等比数列，且满足a...

已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n，数列{bn}是正项等比数列，且满足a1=2b1，b3(a3-a1)=b1，n∈N*． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）记cn=1Sn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵数列{an}前n项的和Sn=n2+2n，∴an=Sn-Sn-1=2n+1（n∈N*，n≥2）
∵a1=S1=3，∴数列{an}的通项公式为an=2n+1（n∈N*）
∵数列{bn}是正项等比数列，b1=12a1=32，a3-a1=4，
∵b3（a3-a1）=b1，∴b3b1=1a3-a1=14，∴公比为12，
数列{bn}的通项公式为bn=32•(12)n-1=3•(12)n；
（Ⅱ）cn=1Sn=1n2+2n=12（1n-1n+2）
∴Tn=12（1-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2）=12(1+12-1n+1-1n+2)=3n2+5n4(n+1)(n+2)