Question

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=ex．（Ⅰ）若a=2，设h（x...

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=ex． （Ⅰ）若a=2，设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0时，求h（x）的最小值； （Ⅱ）过原点分别作函数f（x）与g（x）的切线，且两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或1＜a＜2．

Answer 1

（Ⅰ）解：h'（x）=ex+1x+1-2，…（1分）
令p（x）=ex+1x+1-2，
因为x≥0，
所以p′(x)=ex-1(x+1)2=(x+1)2ex-1(x+1)2≥0，…（2分）
所以p（x），即h'（x））在[0，+∞）上递增，
所以h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上递增，…（4分）
所以h（x）min=h（0）=1…（5分）
（2）证明：设g（x）的切点（x1，y1），f（x）的切点（x2，y2），
由g′(x1)=ex1=y1x1y1=ex1，解得x1=1y1=ek=e，…（7分）
所以f′(x2)=1x2-a=1e=y2x2y2=lnx2-a(x2-1)，
所以1x2-a=lnx2-a(x2-1)x2，
所以lnx2=1-a，
所以x2=e1-a代入1x2-a=1e得ea-ae-1=0，
令F（a）=ea-ae-1，则F'（a）=ea-e，
所以F（a）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）上递增…（9分）
当a∈（-∞，1）时，因为F（0）=0，所以a=0…（10分）
当a∈（1，+∞）时，F（1）=-1＜0，F（2）=e2-2e-1＞0，所以1＜a＜2，
综上a=0或1＜a＜2…（12分）