Question

已知函数f(x)=log√2（x+a）的图象经过原点．（Ⅰ）若f（x-3）、f(...

已知函数f(x)=log√2（x+a）的图象经过原点． （Ⅰ）若f（x-3）、f(√2-1)、f（x-4）成等差数列，求x的值； （Ⅱ）若g（x）=f（x）+1，三个正数m、n、t成等比数列，求证：g（m）+g（t）≥2g（n）．

Answer 1

解：（Ⅰ）由log√2(0+a)=0，得a=1，∴f(x)=log√2(x+1)
∴f(x-3)=log√2(x-2)，f(√2-1)=log√2√2，
f(x-4)=log√2(x-3)，
又∵f(x-3)，f(√2-1)，f(x-4)成等差数列，
∴2f(√2-1)=f(x-3)+f(x-4)，
即：2log√2√2=log√2(x-2)+log√2(x-3)
即：log√2(x-2)(x-3)=2，解之得：x=1或x=4，
经检验，x=1是增根，∴x=4．
（Ⅱ）证明：g（m）+g（t）=f（m）+f（t）+2
=log√2(m+1)+log√2(t+1)+2
=log√2(m+1)•(t+1)+2
=log√2(mt+m+t+1)+2
∵m、n、t成等比数列，且m，n，t∈R+
∴mt=n2，m+t≥2√mt=2n，当m=t时等号成立
此时g(m)+g(t)≥log√2(n2+2n+1)+2=2[log√2(n+1)+1]=2g(n)
即：g（m）+g（t）≥2g（n）．