初一数学题一道!速度!

大数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题:1+2+3+……+n=?经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+……+n=2分之1*n(n+1),其中n是正整数。现在我们... 大数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题:1+2+3+……+n=?经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+……+n=2分之1*n(n+1),其中n是正整数。现在我们来研究一个类似的问题:1*2+2*3+……n(n+1)=? 观察下面三个特殊等式:1*2=三分之一(1*2*3-0*1*2) 2*3=三分之一(2*3*4-1*2*3) 3*4=三分之一(3*4*5-2*3*4) 将这三个等式的两边相加,可以得到1*2+2*3+3*4=三分之一(3*4*5)=20 求下列各式: 1*2+2*3+……+100*101 1*2+2*3+……+n(n+1) 1*2*3+2*3*4+……+n(n+1)(n+2) 展开
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伯朵尚怀梦
2019-06-12 · TA获得超过3867个赞
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由给的特殊形式的例子,可以得出规律,直接套用:
1*2+2*3+……+100*101
=三分之一(1*2*3-0*1*2)+三分之一(2*3*4-1*2*3)+……+三分之一(100*101*102-99*100*101)
=三分之一(100*101*102)
=343400
同理:
1*2+2*3+……+n(n+1)
=三分之一(1*2*3-0*1*2)+三分之一(2*3*4-1*2*3)+……+三分之一(n*(n+1)*(n+2)-(n-1)*n*(n+1))
=三分之一(n*(n+1)*(n+2))
由上述规律,加上最后一题的形式,给予提示:
先看特殊形式:
1*2*3=四分之一(1*2*3*4-0*1*2*3)
2*3*4=四分之一(2*3*4*5-1*2*3*4)
3*4*5=四分之一(3*4*5*6-2*3*4*5)
这三个等式相加,可以得到:1*2*3+2*3*4+3*4*5=四分之一(3*4*5*6)=90
所以
1*2*3+2*3*4+……+n(n+1)(n+2)
=四分之一(1*2*3*4-0*1*2*3)+四分之一(2*3*4*5-1*2*3*4)+四分之一(3*4*5*6-2*3*4*5)+……+四分之一(n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2))
=四分之一(n(n+1)(n+2)(n+3))
要善于找到规律和类推!由式子和给的例子可以看出:以1*2+2*3+……+n(n+1)为例
第一个因式1*2,等于(1的后一项3与这两项的乘积)减去(1的前一项0和这两项的乘积)的差的三分之一,其中1为第一项。
'
'
'
最后一个因式n*(n+1)等于(n的后一项(n+1)与这两项的乘积)减去(n的前一项(n-1)和这两项的乘积)的差的三分之一,其中n为第n项。
所有等式两边的因式分别相加,每个因式的分子上前一个乘积,都与下一个因式分子上的后一个乘积相抵消,最终通过化简整理,得到结果!
要塌下心来看此题,虽然描述的比较复杂,但是在草纸上书写后会明朗的多!
希望能给你帮助!!!
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