Question

已知函数f(x)=|x-a|-a/2×(lnx)，a∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，(x1＜x2)，求证:1＜x1＜a＜x2＜a2.

Answer 1

由已知:(1)a∈R,
f(x)=|x-a|-a/2×lnx
,
x∈﹙0,﹢∞﹚∵涉及绝对值符号，∴先去掉绝对值符号应分两种情况:①当x-a≥0时即a/x≤1，f(x)=x-a-a/2×lnx
且
x∈﹙0,﹢∞﹚，故其导函数为:f′﹙x﹚=1-a/2x
∵a/x≤1,
∴0＜1/2≤1-a/2x=f′﹙x﹚，∴在x∈[a,﹢∞﹚，f(x)=x-a-a/2×lnx单调增;
②当x-a＜0时即a/x＞1，f(x)=a-x-a/2×lnx
,故其导函数f′﹙x﹚=-1-a/2x＜-3/2＜0，∴对于x∈﹙﹣∞，a﹚f(x)=a-x-a/2×lnx单调减;
综上，函数f(x)单调增区间和减区间分别为[a,﹢∞﹚，﹙﹣∞，a﹚
(2)由已知及图像知:f(x)min=f(a)=-a/2lna=alna＜0,
∴
a＞1且x1＜a＜x2;
下面来判断第一个零点x1和1的大小，x=1代入f(x)=a-x-a/2×lnx且
x∈﹙0，a﹚,∴f(1)=a-1＞0
且f(x1)=0，又∵x∈﹙﹣∞，a﹚f(x)=a-x-a/2×lnx单调减;∴x1＞1,即有1＜x1＜a＜x2;
在比较x2和a²的大小
∵a＞1，∴
a²＞a＞1且x∈[a,﹢∞﹚，f(x)=x-a-a/2×lnx单调增;又f(a²)=a²-a-alna
,
为判断f(a²)的正负，不妨令g(a)=-alna
,∴g′(a)=-(1+lna)∵a＞1
,∴lna＞0,g′(a)＜-1＜0,g(a)max=g(1)＜0
,
a²-a＞0
∴f(a²)＞0又f(x2)=0
,
∴x2＜a²综上有:1＜x1＜a＜x2＜a²