Question

已知 在区间[1，2]上为增函数，则a的取值范围是________．

Answer 1

（1，4] 分析： 把函数f（x）分解为两个基本函数y=logat与t=4x+，因为f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以两函数y=logat与t=4x+须同增或同减，分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论再利用导数即可得到答案． 可看作由y=logat与t=4x+复合而成的，x∈[1，2]时，4x＞0．①当a＞1时，y=logat单调递增，因为f（x）单调递增，则须有t=4x+，x∈[1，2]，单调递增，所以t′=4-≥0即a≤4x2在x∈[1，2]上恒成立，所以a≤4×12=4，则1＜a≤4；②当时，y=logat单调递减，因为f（x）单调递增，则须有t=4x+，x∈[1，2]，单调递减，所以t′=4-≤0即a≥4x2在x∈[1，2]上恒成立，所以a≥4×22=16，与0＜a＜1矛盾．综上，a的取值范围是（1，4]．故答案为：（1，4]． 点评： 本题考查复合函数单调性的判断问题，应注意其判断方法：同增异减．