高等数学中绝对值的性质||x|-|y||
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首先,问题中的不等号应改为≤.
只需证明 -|x-y|≤|x|-|y|≤|x-y|
我们有如下的基本绝对值不等式：
|x|+|y|≥|x+y|
∴ |x-y|+|y|≥|(x-y)+y|=|x|
移项得 |x-y|≥|x|-|y|,
就是 |x|-|y|≤|x-y| (1)
由(1)又有
|y|-|y-x|≤|y-(y-x)|=|x|
∴ -|x-y|=-|y-x|≤|x|-|y| (2)
综合(1)、(2)原不等式得证.
只需证明 -|x-y|≤|x|-|y|≤|x-y|
我们有如下的基本绝对值不等式：
|x|+|y|≥|x+y|
∴ |x-y|+|y|≥|(x-y)+y|=|x|
移项得 |x-y|≥|x|-|y|,
就是 |x|-|y|≤|x-y| (1)
由(1)又有
|y|-|y-x|≤|y-(y-x)|=|x|
∴ -|x-y|=-|y-x|≤|x|-|y| (2)
综合(1)、(2)原不等式得证.
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