Question

复变函数证明,谢谢！

Q是n阶多项式，有不同的n个解 a1,a2,a3....an ，P是小于n阶多项式，证明P(z)/Q（z)=P(a1)/Q'(a1)(z-a1)+P(a2)/Q'(a2)(z-a2)+P(a3)/Q'(a3)(z-a3)+....P(an)/Q'(an)(z-an)

Answer 1

显然Q(z)=A(z-a1)(z-a2)...(z-an)，A是其最高次项系数。
按照
求导
的乘法规则，有
Q'(z)=A(z-a2)...(z-an)
+
A(z-a1)(z-a3)...(z-an)
+
...+
A(z-a1)(z-a2)...(z-a_{n-1})
所以
Q'(a1)
=
A(a1-a2)(a1-a3)...(a1-an)
Q'(a2)
=
A(a2-a1)(a2-a3)...(a2-an)
...
对要证明的式子两边乘以Q(z)
得到P(z)
=
P(a1)A(z-a2)(z-a3)...(z-an)/Q'(a1)
+
...
两边代入
a1，左边=P(a1)
右边=P(a1)A(a1-a2)*...*(a1-an)/Q'(a1)=P(a1)
同样可以验证对于n个互不相同的a1,...,an，两边都相等。
而注意两边都是不超过n-1阶的
多项式
，所以两边
恒等
。