Question

设函数f(x)=eaxx2+1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点...

设函数f(x)=eaxx2+1，a∈R． （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f（x）单调区间．

Answer 1

解：因为f(x)=eaxx2+1，所以f′(x)=eax(ax2-2x+a)(x2+1)2．
（Ⅰ）当a=1时，f(x)=exx2+1，f′(x)=ex(x2-2x+1)(x2+1)2，
所以f（0）=1，f'（0）=1．
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x-y+1=0．…（4分）
（Ⅱ）因为f′(x)=eax(ax2-2x+a)(x2+1)2=eax(x2+1)2(ax2-2x+a)，…（5分）
（1）当a=0时，由f'（x）＞0得x＜0；由f'（x）＜0得x＞0．
所以函数f（x）在区间（-∞，0）单调递增，在区间（0，+∞）单调递减．…（6分）
（2）当a≠0时，设g（x）=ax2-2x+a，方程g（x）=ax2-2x+a=0的判别式△=4-4a2=4（1-a）（1+a），…（7分）
①当0＜a＜1时，此时△＞0．
由f'（x）＞0得x＜1-1-a2a，或x＞1+1-a2a；
由f'（x）＜0得1-1-a2a＜x＜1+1-a2a．
所以函数f（x）单调递增区间是(-∞，1-1-a2a)和(1+1-a2a，+∞)，
单调递减区间(1-1-a2a，1+1-a2a)．…（9分）
②当a≥1时，此时△≤0．所以f'（x）≥0，
所以函数f（x）单调递增区间是（-∞，+∞）．…（10分）
③当-1＜a＜0时，此时△＞0．
由f'（x）＞0得1+1-a2a＜x＜1-1-a2a；
由f'（x）＜0得x＜1+1-a2a，或x＞1-1-a2a．
所以当-1＜a＜0时，函数f（x）单调递减区间是(-∞，1+1-a2a)和(1-1-a2a，+∞)，
单调递增区间(1+1-a2a，1-1-a2a)．…（12分）
④当a≤-1时，此时△≤0，f'（x）≤0，所以函数f（x）单调递减区间是（-∞，+∞）．…（13分）