Question

若圆x^2+y^2-4x-5=0上的点到直线3x-4y+k=0的距离的最大值是4,则k等于多少

我先算圆心再算圆心到直线的距离.. 怎么算不得答案的呀？..
书上的答案是9或-21

Answer 1

画出草图
距离的最大值是4,大于半径,所以直线在圆外
当直线在圆的斜上方时,交X轴于A点.过圆点做线垂直于直线并交直线于B点.最远点为垂线与远侧圆弧的交点.
BO=3,直线斜率为3/4,则AO=5,A点坐标为(-3,0)
代入3x-4y+k=0,得到k=9

直线在圆的斜下方,为另一条线.同理可得交X轴于(7,0),得k=-21

Answer 2

3x-4y-7=0的斜率k=3/4
与它垂直的直线的斜率=-4/3
设这条直线的方程为：y=-4x/3+m
它与x轴、y轴的交点分别为(3m/4,0),(0,m)
这两点间距离为根号((3m/4)^2+m^2)=5|m|/4
三角形的周长：|3m/4|+|m|+5|m|/4=10
|m|=10/3
m=±10/3

该直线方程为：y=-4x/3±10/3