Question

定积分和反常积分

1.∫1/[sinx*(x^0.5)] 从0到pi/4
2.∫1/[(x^0.5)*lnx] 从2到正无限
这两个积分是定积分还是反常积分?如何判断?若是广义积分,证明其存在性

Answer 1

这两个积分都是广义积分。平常说的定积分一般都是Riemann积分，它是对于有限区间上的有界函数的积分。而第一题中当x->0时，函数值->无穷，即x=0是一个瑕点，所以这是反常积分。由于1/[sinx*(x^0.5)]与1/x^1.5是x->0时的等价无穷大，而后者在零点可积，所以原积分存在。
第二题是无限区间上的广义积分，1/[(x^0.5)*lnx] 与1/x^(0.5+&)是x->无穷时的等价无穷小（其中&代表一个正的任意小量），而后者是可积的，所以原积分存在。

Answer 2

这种问题在知道上比较难得到比较可靠的答案
建议去看看同济大学数学系《高等数学》高等教育出版社出版
或者明天找一个人多点的时间来，那样引起注意的机会比较大