Question

行列式相等是矩阵相似的充要条件吗?

Answer 1

不是，是必要非充分条件。2个矩阵相似的必要条件是“两个矩阵的秩相等,行列式也相等”。

矩阵相似的判定条件：

最直接的先看两个矩阵的迹（即主对角线上的元素相加的和）是否相等。

然后是根据特征方程式|λI-A|=0求出两个矩阵的特征值,看特征值是否相等,特征值如果相等了那么它们的行列式必然会相等（因为矩阵行列式的值等于特征值之积）,所以|A|=|B|自然就会成立了。

如果上面条件都成立的话就检验两个矩阵的秩是否相等，即对两个矩阵进行初等行变换,化成阶梯矩阵就可判定矩阵的秩。

线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的;反过来,如果两个矩阵相似,那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

矩阵相似的充要条件：

设A,B是数域P上两个矩阵,A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。注:定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化,则可按下列步骤来实现：

求出全部的特征值。

对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成,即为对应的线性无关的特征向量。

上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。