Question

已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1.

1.求f(0)的值2.判断f(x)在R上的单调性，说明理由

Answer 1

1.取
x=0
将其带入函数。
可得
f(0+y)=f(0)+f(y)-1
即f(y)-f(y)+1=f(0)
所以f(0)=1
2.单调递增。
取x1>x2
则f(x1-x2)>1
∴f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)-1>0
∵f(x1-x2)>1
∴f(x1-x2+x2)>f(x2)
∴f(x1)>f(x2)

Answer 2

1）
f(0+0)=f(0)+f(0)-1
所以
f(0)=1
2）f(x+1)-f(x)=f(x)+f(1)-1-f(x)
=f(1)-1
大于0
所以f(x)在R上为单调递增

Answer 3

（1）
令x=y=0代入得到：
f(0)=f(0)+f(0)-1
f(0)=1
（2）
对于任意x1，x2，设x1>x2
则x1-x2>0
f(x1-x2)>1
f(x1)=f(x2)+f(x1-x2)-1>f(x2)
则由单调性的定义知f(x)在R上单调递增