Question

求(x^(1+x))/((1+x)^x) - x/e 在x 正无穷大的极限， 最好有详细过程

Answer 1

这里先用等价无穷小替换，再用洛必达法则：
(1+x)^(1/x)=e^[ln(1+x)/x]，分子化为e×{e^[ln(1+x)/x-1]－1}。x→0时，e^[ln(1+x)/x-1]－1等价于ln(1+x)/x-1，所以
原极限＝e×lim
[ln(1+x)/x-1]/x＝e×lim
[ln(1+x)-x]/x^2＝e×lim
[1/(1+x)-1]/(2x)＝e×lim
[(-x)/(1+x)]/(2x)＝e×lim
(-1)/[2(1+x)]＝-e/2