Question

高数定积分问题？

请问一下这两个性质成立吗？证明方法正确嘛





Answer 1

换元的方法不对。

Answer 2

第一个

Prove: ∫(0->π) f(sinx) dx = 2∫(0->π/2) f(sinx) dx 

solution:

∫(0->π) f(sinx) dx

把定积分分开2段

=∫(0->π/2) f(sinx) dx +∫(π/2->π) f(sinx) dx

利用 x=π-u

=∫(0->π/2) f(sinx) dx +∫(π/2->0) f(sin(π/2-u)) (-du)

=∫(0->π/2) f(sinx) dx +∫(0->π/2) f(sinu) du

定积分的值跟自变量无关

=∫(0->π/2) f(sinx) dx +∫(0->π/2) f(sinx) dx

=2∫(0->π/2) f(sinx) dx

第二个

Prove: ∫(0->π) f(cosx) dx = ∫(0->π/2) f(cosx) dx  +∫(0->π/2) f(-cosx) dx 

∫(0->π) f(cosx) dx

把定积分分开2段

=∫(0->π/2) f(cosx) dx + ∫(π/2->π) f(cosx) dx

x=π-u

=∫(0->π/2) f(cosx) dx + ∫(π/2->0) f(cos(-u)) (-du)

=∫(0->π/2) f(cosx) dx + ∫(0->π/2) f(-cosu) du

=∫(0->π/2) f(cosx) dx + ∫(0->π/2) f(-cosx) dx

你的证明基本正确

Answer 3

∫<0,π>f(sinx)dx=2∫<0,π/2>f(sinx)dx,成立。
∫<0,π>f(cosx)dx=∫<0,π/2>f(cosx)dx+∫<0,π/2>f(-cosx)dx也成立。

Answer 4

你好，您的证明方法正确，既然证明出来了，那么这两个性质一定成立啊。