Question

怎么求(y²－2xy)dx=(x²－2xy)dy的特解？

Answer 1

（y²-2xy）dx
=（x²-2xy）dy，
xy（y-2x）
=xy（x-2y），
y-2x=x-2y，
y+2y=x+2x，
3x=3y，
x=y，
此不定方程有无穷多解，任意实数当x=y都是原方程的根。所以无实际意义！

Answer 2

(y²–2xy)dx=(x²–2xy)dy
dy/dx=(y²–2xy)/(x²–2xy)=[(y/x)²–2y/x]/(1–2y/x)①
令t=y/x，则y=tx
dy/dx=t+xdt/dx
代入①得
t+xdt/dx=(t²–2t)/(1–2t)
xdt/dx=(t²–2t–t+2t²)/(1–2t)=3(t²–t)/(1–2t)
dx/(xdt)=(1–2t)/[3(t²–t)]
dx/x=(1–2t)/[3(t²–t)]dt
两边积分得
ln|x|=–1/3 ln|t²–t|+ln|C'|
ln|x|+1/3 ln|t²–t|=ln|C'|
3ln|x|+ln|t²–t|=3ln|C'|
ln|x³|+ln|t²–t|=ln|C|
x³·(t²–t)=C
x³·(y²/x²–y/x)=C
xy²–x²y=C
原方程通解为xy²–x²y=C