判断函数f(x)=x+1分之x-2(x≥0)的单调性,并求出值域
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先分别讨论 x≥0 和 x<-1 的情况：
① 当 x≥0 时，f(x) = (x-2)/(x+1)。对于任意的 x1,x2 (x1≥0, x2≥0 且 x1≤x2)，有：
f(x1) - f(x2) = [(x1-2)/(x1+1)] - [(x2-2)/(x2+1)]
= [(x1-2)(x2+1) - (x2-2)(x1+1)] / [(x1+1)(x2+1)]
= (x1-x2) / [(x1+1)(x2+1)] > 0
因此，f(x) 在 x≥0 上单调递增。
又因为当 x 无穷大时，f(x) 趋近于 1，所以函数的值域为 (-∞,1)。
② 当 x<-1 时，x+1<0，因此 f(x) 的定义域中不存在这样的 x。因此，这一部分的单调性和值域不予考虑。
① 当 x≥0 时，f(x) = (x-2)/(x+1)。对于任意的 x1,x2 (x1≥0, x2≥0 且 x1≤x2)，有：
f(x1) - f(x2) = [(x1-2)/(x1+1)] - [(x2-2)/(x2+1)]
= [(x1-2)(x2+1) - (x2-2)(x1+1)] / [(x1+1)(x2+1)]
= (x1-x2) / [(x1+1)(x2+1)] > 0
因此，f(x) 在 x≥0 上单调递增。
又因为当 x 无穷大时，f(x) 趋近于 1，所以函数的值域为 (-∞,1)。
② 当 x<-1 时，x+1<0，因此 f(x) 的定义域中不存在这样的 x。因此，这一部分的单调性和值域不予考虑。
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