Question

当x趋向于0,(ln((1+x)^(1/x))-1)/x 求极限

Answer 1

先设y=(1+x)^(1/x).对原极限用罗比达法则：
lim(ln((1+x)^(1/x))-1)/x=lim(y'/y) 分母y的极限是e,下面看分子.
因为y=(1+x)^(1/x),lny=ln(x+1)/x
求导得：y'/y=(x/(x+1)-ln(x+1))/x^2=(x-(x+1)ln(x+1))/(x^2(1+x))
limy'=limylim(x-(x+1)ln(x+1))/(x^2(1+x))
=elim(1-ln(x+1)-1)/(2x(1+x)+x^2)
=-elim(ln(x+1)^(1/x))/(2(1+x)+x)
=-e/2
所以：lim(ln((1+x)^(1/x))-1)/x=lim(y'/y) =-1/2