证明:若函数f(x)在点x 0 处可导,则函数f(x)在点x 0 处连续.

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科创17
2022-06-16 · TA获得超过5861个赞
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分析:要证明f(x)在点x 0 处连续,必须证明 f(x)=f(x 0 ).根据函数在点x 0 处可导的定义,逐步实现两个转化:一是趋向的转化;二是形式(变为导数定义式)的转化.

证法一:设x=x 0 +Δx 则当x→x 0 时,Δx→0. f(x)= f(x 0 +Δx)

= [f(x 0 +Δx)-f(x 0 )+f(x 0 )]

= ·Δx+f(x 0 )]

= · Δx+ f(x 0 )

=f′(x 0 )·0+f(x 0 )=f(x 0 ).

∴函数f(x)在点x 0 处连续.

证法二:∵函数f(x)在点x 0 处可导,

∴在点x 0 处有

[f(x)-f(x 0 )]= Δy= ( ·Δx)

= · Δx=f′(x 0 )·0=0.

f(x)=f(x 0 ).

∴函数f(x)在点x 0 处连续.

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