Question

证明：若函数f(x)在点x 0 处可导，则函数f(x)在点x 0 处连续.

Answer 1

分析：要证明f(x)在点x 0 处连续，必须证明 f(x)=f(x 0 ).根据函数在点x 0 处可导的定义，逐步实现两个转化：一是趋向的转化；二是形式（变为导数定义式）的转化.

证法一：设x=x 0 +Δx 则当x→x 0 时，Δx→0. f(x)= f(x 0 +Δx)

= ［f(x 0 +Δx)-f(x 0 )+f(x 0 )］

= ［ ·Δx+f(x 0 )］

= · Δx+ f(x 0 )

=f′(x 0 )·0+f(x 0 )=f(x 0 ).

∴函数f(x)在点x 0 处连续.

证法二：∵函数f(x)在点x 0 处可导，

∴在点x 0 处有

［f(x)-f(x 0 )］= Δy= ( ·Δx)

= · Δx=f′(x 0 )·0=0.

∴ f(x)=f(x 0 ).

∴函数f(x)在点x 0 处连续.