Question

求助几个线性代数上的问题

（1）向量组A可以用向量组B线性表示，且R（A）=R（B）时，为什么向量组B就可以用向量组A线性表示了？（就是秩相同的两个向量组不一定等价，现在问的就是这个等价的条件）
（2）A、B为两上n阶矩阵，要证明R（A+B）≤R（A）+R（B），为什么只需证明A+B的列向量组可以由A和B的列向量组线性表示就可以了？A与B各自的极大无关组里面的全部向量组成的向量组也是线性无关的吗？
（3）一个证明题：设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组
(A^k)x=0,有解向量α，且(A^k-1)α≠0，求证：向量组α, Aα, (A^2)α,……，(A^k-1)α是线性无关的.
多谢高手指教！

Answer 1

1.题目有误：
反例，A：（0，2）；B（0，0）和（0，1）
显然（0，0）不能由（0，2）线性表示
2。A+B是A列和B列相加得到的，找出(A,B)的秩就可以了
一个向量组（A+B)可以由另一个向量组（A,B)线性表出，则秩就小于等于了
两者的组合不一定是线性无关的，所以才说是小于等于，而不说等于。。。好好看看书吧
3。设
s0α+s1Aα+s2(A^2)α+.....sk-1(A^k-1)α=0
证明s0，s1.....sk-1都为0就行了
左，右乘(A^k-1)，得到
s0(A^k-1)α=0
得出s0=0
然后s1Aα+s2(A^2)α+.....sk-1(A^k-1)α=0
左右乘(A^k-2)得到s1=0
。。。。
同理，所有数都是0了
也就线性无关了
希望对你有所帮助