在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点,求二面角A1-BD-E的大小
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利用赋值法,令AB＝1.取胡冲橘BD的中点为F.
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体,∴A1B＝A1D＝A1C1＝BD＝√2.
∵E是CC1的中点,∴CE＝C1E＝1/2,∴BE＝DE＝√（BC^2＋CE^2）＝√（1＋1/4）＝√5/2.
A1E＝√（A1C1^2＋C1E^2）＝√（2＋1/4）＝3/2.
∵A1B＝A1D,∴A1F⊥BD. ∵BE＝DE,∴EF⊥BD.
∴∠A1FE是二面角A1－判旦BD－E的平面角.
而A1F＝√（A1B^2－BF^2）＝√（2－1/2）＝√6/2.
EF＝√（BE^2－BF^2）＝√（5/4－1/2）＝√3/2.
∴cos∠A1FE＝（A1F^2＋EF^2－A1E^2）/（2A1F×EF）
＝（6/4＋3/4－6/4）/［2×（√6/2）×（裤团√3/2）］＝3/（6√2）＝√2/4.
∴二面角A1－BD－E的大小是arccos（√2/4）.
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体,∴A1B＝A1D＝A1C1＝BD＝√2.
∵E是CC1的中点,∴CE＝C1E＝1/2,∴BE＝DE＝√（BC^2＋CE^2）＝√（1＋1/4）＝√5/2.
A1E＝√（A1C1^2＋C1E^2）＝√（2＋1/4）＝3/2.
∵A1B＝A1D,∴A1F⊥BD. ∵BE＝DE,∴EF⊥BD.
∴∠A1FE是二面角A1－判旦BD－E的平面角.
而A1F＝√（A1B^2－BF^2）＝√（2－1/2）＝√6/2.
EF＝√（BE^2－BF^2）＝√（5/4－1/2）＝√3/2.
∴cos∠A1FE＝（A1F^2＋EF^2－A1E^2）/（2A1F×EF）
＝（6/4＋3/4－6/4）/［2×（√6/2）×（裤团√3/2）］＝3/（6√2）＝√2/4.
∴二面角A1－BD－E的大小是arccos（√2/4）.
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