Question

物理学中常用积分的计算

Answer 1

  这个问题最先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，最终由欧拉在1735年解决。这个问题曾难倒了众多数学家，因此，欧拉一解决这个问题便名声大噪。
后文将用到这一求和的结果。

欧拉最初的解法为：

利用正弦级数：

得到：

的解集为：

于是，欧拉大胆地将 表示为下列连乘式：

根据根与系数的关系，对于二次多项式有

两边同乘以 即得：

后来，欧拉将这一问题扩展为：

并给出了s为偶数时的解。

其中

利用 , 上述积分结果为：

故