Question

高等代数理论基础24：线性方程组有解判别定理

Answer 1

给定线性方程组

引入向量 ,
,
, ,

线性方程组可改写成向量方程

线性方程组有解的充要条件为向量 可表成向量组 的线性组合

定理：线性方程组有解的充要条件为它的系数矩阵

与增广矩阵

有相同的秩

证明：

另：判别条件与消元法一致

给定线性方程组 有解

A与 的秩都等于r,D是A的一个不为零的r级子式

不妨设D位于A的左上角

显然 的前r行为一个极大线性无关组

第 行都可经它线性表出

方程组与 同解

时,由Cramer法则,方程组有唯一解

时,改写方程组为

为 的一个方程组,系数行列式 ,由Cramer法则,对于 的任意一组值,方程组有唯一解

就是方程组的一组自由未知量,用Cramer法则可解出

即为方程组的一般解