Question

高等代数理论基础28：矩阵乘积的行列式与秩

Answer 1

定理：设A,B是数域P上的两个 矩阵,则

即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积

推广：设 都是数域P上的 矩阵,则

定义：对数域P上的 矩阵A,若 ,则称A为非退化的,否则称为退化的

注：一个 矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于n

推论：设A,B是数域P上 矩阵,矩阵AB为退化的充要条件是A,B中至少有一个是退化的

定理：设A是数域P上 矩阵,B是数域P上 矩阵,

即乘积的秩不超过各因子的秩

证明：

推论：若 ,则