Question

高中数学-导数题目？

主要提问第二问m的求解。

Answer 1

三次函数，三次项系数为正，则函数图像为一个“N”字形，先递增，后递减，再递增。

第一个极值x₁处于左边最高点，第二个极值x₂处于右边最低点；

在极值x₁点画水平线，与最右边递增段相交，交点即为m值点。

绘图如下：

【计算方法】

第一步，先根据函数计算x₁值（用f'(x)=0可同时计算出x₁和x₂，其中较小的那个就是x₁）；

f'(x)=x²-(1+a)x+a=0

解得：x₁=1，x₂=a；(题中给出：a>1)

第二步，将x₁代入f(x)，算出对应的函数值f(x₁)；

f(x₁)=f(1)=1³/3-(1+a)×1²/2+a×1+b=a/2+b-1/6

第三步，将f(x₁)值代入f(x)，可反向计算x，其中两个相等的根即为x₁，另一个不同的根就是m。

f(x)=x³/3-(1+a)x²/2+ax+b=a/2+b-1/6

x³/3-(1+a)x²/2+ax-a/2+1/6=0

2x³-3(1+a)x²+6ax-3a+1=0

(x-1)²(2x-3a+1)=0（有两个相等的根为x₁，所以分解因式时肯定有(x-1)²，后面的就容易凑了）

所以：m=(3a-1)/2