Question

二阶常系数齐次线性方程的通解特点,

Answer 1

二阶线性齐次方程的一般形式为：y''+a1y'+a2y=0,其中a1,a2为实常数.
我们知道指数函数e^(ax)求导后仍为指数函数.利用这个性质,可适当的选择常数ρ,使e^(ax)满足方程上面的方程.我们可令：y=e^(ax),代入上面的方程得：
e^(ax)( ρ^2+a1ρ+a2)=0
因为e^(ax)≠0,所以：
ρ^2+a1ρ+a2=0
这样,对于上面二次方程的每个根ρ,e^(ax)就是方程y''+a1y'+a2y=0的一个解.方程ρ^2+a1ρ+a2=0就被称为方程的特征方程.根据这个代数方程的根的不同性质,我们分三种不同的情况来讨论：
1.特征方程有两个不等的实根的情形
设此两实根为ρ1,ρ2(ρ1≠ρ2).于是e^(ρ1x),e^(ρ2x)是齐次方程y''+a1y'+a2y=0的两个特解,由于它们之比不等于常数,所以它们线性独立,因此,方程的通解为：
y=c1e^(ρ1x),e^(ρ2x) 其中c1,c2为实常数.
2.特征方程有重根的情形
此时特征方程的重根应为：ρ1=-a1/2,于是只能得到y''+a1y'+a2y=0的一个特y1=e^(ρ1x),我们可根据常数变易法再求其另一个特解为：y=xe^(ρ1x).于是方程的通解为:
y=e^(ρ1x)(C1+C2x)
3.特征方程有共轭复根的情形
设共轭复根为ρ1=α+iβ,ρ2=α-iβ,那末y=e^(ρ1x),y=e^(ρ2x).是方程的两个线性独立的解,但是这种复数形式的解使用不方便,为了得到实数形式的解,利用欧拉公式：e^(ix)=cosx+isinx,为此可以得到方程y''+a1y'+a2y=0的通
y=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)
由上面可知,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为：
1.对照方程y''+a1y'+a2y=0写出其特征方程：ρ^2+a1ρ+a2=0；
2.求出特征方程的两个根：ρ1,ρ2
3.根据ρ1,ρ2是不同实根,相同实根,共轭复根,分别利用上面的公式写出原方程的通解.