Question

已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)＝ax+b1+x2为奇函数，且f(12)＝25．？

Answer 1

解题思路：（1）利用函数 f(x)＝ ax+b 1+ x 2 为奇函数，且 f( 1 2 )＝ 2 5 ，可得 f(− 1 2 )＝−f( 1 2 )＝− 2 5 ，从而得到关于a、b的方程组，解之即可；
（2）利用单调性的定义即可证明；
（3）利用f（x）为奇函数，将不等式f（t-1）+f（t）＜0转化为f（t）＜-f（t-1）=f（1-t），再利用函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数得到关于t的不等式 组，解之即可．
（1）∵f(x)＝
ax+b
1+x2为奇函数，且f(
1
2)＝

a
2+b
1+(
1
2)2＝
2
5
∴f(−
1
2)＝
−
a
2+b
1+(−
1
2)2＝−f(
1
2)＝−
2
5，解得：a=1，b=0．
∴f(x)＝
x
1+x2
（2）证明：在区间（-1，1）上任取x1，x2，令-1＜x1＜x2＜1，f(x1)−f(x2)＝
x1
1+x12−
x2
1+x22＝
x1(1+x22)−x2(1+x12)
(1+x12)(1+x22)=
(x1−x2)(1−x1x2)
(1+x12)(1+x22)
∵-1＜x1＜x2＜1
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，（1+x12）＞0，（1+x22）＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（t-1）+f（t）＜0
∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数
∴
,9,已知定义在区间（-1，1）上的函数 f(x)＝ ax+b 1+ x 2 为奇函数，且 f( 1 2 )＝ 2 5 ．
（1）求实数a，b的值；
（2）用定义证明：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．