Question

二元函数可微的意义是什么？

Answer 1

二元函数可微的定义是函数z=f(x，y)在点(x，y)的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)可以表示成Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)。

令x=y=0，则全增量Δz=f(Δx，Δy)-f(0，0)，将符号Δx，Δy换成x，y来表示，则(x，y)→(0，0)时函数f(x，y)的Δz=f(x，y)-f(0，0)=-2x+y+o(ρ)，符合定义的要求，所以f(x，y)在点(0，0)处可微。

二元函数可微的条件

1、二元函数可微的必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

2、二元函数可微的充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在且均在这点连续，则该函数在这点可微。

3、多元函数可微的充分必要条件是f(x，y)在点（x0，y0）的两个偏导数都存在。

4、设平面点集D包含于R^2，若按照某对应法则f，D中每一点P(x，y)都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数。