Question

欧拉线定理

Answer 1

欧拉线定理如下：

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半，且九点圆圆心为外心与垂心连线的中点。这是由莱昂哈德欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出的定理。

三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆，称为欧拉圆。

应用

1、平面上共圆的5个点，任取其中3点组成三角形，过其重心作另外两点连线的垂线，共有10条。则这10线交于一点。

2、平面上共圆的5个点，任取其中3点组成三角形，过其垂心作另外两点连线的垂线，共有10条。则这10线交于一点。

3、平面上共圆的5个点，任取其中3点组成三角形，过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线，共有10条。则这10线交于一点。

证明：欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

4、在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点，连接DE，EF，FD，则△ABC与△DEF的欧拉线重合。