Question

如图，点O是△ABC的内角平分线的交点，O′是△ABC的外角平分线的交点？

Answer 1

解题思路：本题（1）可以根据三角形的内角和为180°以及角平分线的性质来计算．
（2）根据“三角形的外角等于与其不相邻的两内角和”和角平分线性质来证明．
证明：（1）如图∵在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°，
在△AOB中，∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，
∵AO，BO分别是∠CAB和∠ABC的平分线，
∴∠CAB=2∠OAB，∠ABC=2∠OBA，
∴∠AOB+
1
2]∠CAB+[1/2]∠ABC=180°，
又∵在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°
∴∠AOB=[1/2]∠C+90°；

证明：（2）O′是△ABC的外角平分线的交点，
则∠O′AB=[1/2]∠EAB=[1/2]（180°-∠CAB）=90°-[1/2]∠CAB，
∠ABO′=[1/2]∠ABF=90°-[1/2]∠CBA，
∴∠O′AB+∠ABO′=180°-[1/2]（∠CAB+∠CBA）
又∵∠CAB+∠CBA=180°-∠C，
∴∠O′AB+∠ABO′=90°+[1/2]∠C，
在△ABO′中利用内角和定理得到：
∠AO′B=180°-（∠O′AB+∠O′BA）=180°-（90°+[1/2]∠C）=90°-[1/2]∠C．
,5,如图，点O是△ABC的内角平分线的交点，O′是△ABC的外角平分线的交点
求证：（1）∠AOB=90°+[1/2∠C