n为正整数，且n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25为完全平方数，n=___．
1个回答
展开全部
n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25
=n 4 +2n 3 +n 2 +5n 2 +12n+25
=（n 2 +n+2） 2 +n 2 +8n+20>（n 2 +n+2） 2 ，
又∵n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25
=n 4 +2n 3 +n 2 +5n 2 +12n+25
=（n 2 +n+5） 2 +5n 2 +12n+25
=（n 2 +n+5） 2 -5n 2 +2n<（n 2 +n+5） 2 ，
∴n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25=（n 2 +n+3） 2 或n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25=（n 2 +n+4） 2 ，
由n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25=（n 2 +n+3） 2 得：n 2 -6n-16=0，即（n-8）（n+2）=0，
∴n=8，此时n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25=5625=75 2 ，
由n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25=（n 2 +n+4） 2 得：3n 2 -4n-9=0，无正整数解．
综上所述，n有唯一的正整数值8．
故答案为：8．
=n 4 +2n 3 +n 2 +5n 2 +12n+25
=（n 2 +n+2） 2 +n 2 +8n+20>（n 2 +n+2） 2 ，
又∵n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25
=n 4 +2n 3 +n 2 +5n 2 +12n+25
=（n 2 +n+5） 2 +5n 2 +12n+25
=（n 2 +n+5） 2 -5n 2 +2n<（n 2 +n+5） 2 ，
∴n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25=（n 2 +n+3） 2 或n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25=（n 2 +n+4） 2 ，
由n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25=（n 2 +n+3） 2 得：n 2 -6n-16=0，即（n-8）（n+2）=0，
∴n=8，此时n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25=5625=75 2 ，
由n 4 +2n 3 +6n 2 +12n+25=（n 2 +n+4） 2 得：3n 2 -4n-9=0，无正整数解．
综上所述，n有唯一的正整数值8．
故答案为：8．
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
