Question

已知函数f(x)＝axx2+b在x=1处取得极值2．

Answer 1

解题思路：（1）由函数f(x)＝axx2+b在x=1处取得极值2可得f（x）=2，f′（1）=0求出a和b确定出f（x）即可；（2）令f′（x）＞0求出增区间得到m的不等式组求出解集即可；（3）找出直线l的斜率k=f′（x0），利用换元法求出k的最小值和最大值即可得到k的范围．

（1）因f/(x)＝
a(x2+b)−ax(2x)
(x2+b)2，
而函数f(x)＝
ax
x2+b在x=1处取得极值2，
所以

f/(1)＝0
f(1)＝2⇒

a(1+b)−2a＝0

a
1+b＝2⇒

a＝4
b＝1
所以f(x)＝
4x
1+x2；
（2）由（1）知f/(x)＝
4(x2+1)−8x2
(x2+1)2＝
−4(x−1)(x+1)
(1+x2)2，
如图，f（x）的单调增区间是[-1，1]，
所以，

m≥−1
2m+1≤1
m＜2m+1⇒-1＜m≤0，
所以当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．

（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：k＝f/(x0)＝
4(1−x02)
(1+x02)2＝4×
−1−x02+2
(1+x02)2=4[
2
(1+x02)2−
1
1+x02]
令t＝
1
1+x02，则t∈（0，1]，此时，k＝8(t2−
1
2t)＝8(t−
1
4)2−
1
2
根据二次函数k＝8(t−
1
4)2−
1
2的图象性质知：
当t＝
1
4时，kmin=−
1
2，当t=1时，kmax=4
所以，直线l的斜率k的取值范围是[−
1
2 ， 4 ]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；直线的斜率．

考点点评： 考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及直线斜率的求法．