已知函数f(x)=axx2+b在x=1处取得极值2.
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解题思路:(1)由函数f(x)=axx2+b在x=1处取得极值2可得f(x)=2,f′(1)=0求出a和b确定出f(x)即可;(2)令f′(x)>0求出增区间得到m的不等游搏式组求出解集即可;(3)找出直线l的斜率k=f′(x0),利用换元法求出k的最小值和最大值即可得到k的范围.
(1)因f/(x)=
a(x2+b)−ax(2x)
(x2+b)2,
而函数f(x)=
ax
x2+b在x=1处取得极值2,
所以
f/(1)=0
f(1)=2⇒
a(1+b)−2a=0
a
1+b=2⇒
a=4
b=1
所以f(x)=
4x
1+x2;
(2)由(1)知f/(x)=
4(x2+1)−8x2
(x2+1)2=
−4(x−1)(x+1)
(1+x2)2,
如图,f(x)的单调增区间是[-1,1],
所以,
m≥−1
2m+1≤1
m<2m+1⇒-1<m≤0,
所以当m∈(-1,0]时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调辩磨悔递增.
(3)由条件知,过f(x)的图形上一点P的携正切线l的斜率k为:k=f/(x0)=
4(1−x02)
(1+x02)2=4×
−1−x02+2
(1+x02)2=4[
2
(1+x02)2−
1
1+x02]
令t=
1
1+x02,则t∈(0,1],此时,k=8(t2−
1
2t)=8(t−
1
4)2−
1
2
根据二次函数k=8(t−
1
4)2−
1
2的图象性质知:
当t=
1
4时,kmin=−
1
2,当t=1时,kmax=4
所以,直线l的斜率k的取值范围是[−
1
2 , 4 ].
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;直线的斜率.
考点点评: 考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数研究函数单调性的能力,以及直线斜率的求法.
(1)因f/(x)=
a(x2+b)−ax(2x)
(x2+b)2,
而函数f(x)=
ax
x2+b在x=1处取得极值2,
所以
f/(1)=0
f(1)=2⇒
a(1+b)−2a=0
a
1+b=2⇒
a=4
b=1
所以f(x)=
4x
1+x2;
(2)由(1)知f/(x)=
4(x2+1)−8x2
(x2+1)2=
−4(x−1)(x+1)
(1+x2)2,
如图,f(x)的单调增区间是[-1,1],
所以,
m≥−1
2m+1≤1
m<2m+1⇒-1<m≤0,
所以当m∈(-1,0]时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调辩磨悔递增.
(3)由条件知,过f(x)的图形上一点P的携正切线l的斜率k为:k=f/(x0)=
4(1−x02)
(1+x02)2=4×
−1−x02+2
(1+x02)2=4[
2
(1+x02)2−
1
1+x02]
令t=
1
1+x02,则t∈(0,1],此时,k=8(t2−
1
2t)=8(t−
1
4)2−
1
2
根据二次函数k=8(t−
1
4)2−
1
2的图象性质知:
当t=
1
4时,kmin=−
1
2,当t=1时,kmax=4
所以,直线l的斜率k的取值范围是[−
1
2 , 4 ].
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;直线的斜率.
考点点评: 考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数研究函数单调性的能力,以及直线斜率的求法.
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