Question

已知x= ln(1+ t^2), y= t - arctant确定y= y( x)，求dy/ dx

Answer 1

由x、y分别对t求导，有dx/dt=2t/(1+t²)、dy/dt=1-1/(1+t²)=t²/(1+t²)。
∴dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=t/2。
由x=ln(1+t²)可得，1+t²=e^x。∴x≥0。∴t=±√(e^x-1)。∴dy/dx=±(1/2)√(e^x-1)。
供参考。

Answer 2

一、根据已知x= ln(1+ t²), y= t - arctant，来确定y= y( x)
1、从x= ln(1+ t²)式中，求出 t 的表达式，即
将该式两边取反自然对数，有
e^x=1+ t²
t=√(e^x-1)
2、把 t 的表达式代入 y 的表达式，即
y= √(e^x-1) - arctan√(e^x-1)
二、根据y= y( x)，求其导数dy/dx
令u=√(e^x-1)，则
y= u - arctan(u)
dy/du=1-1/(1+u²)=1-1/e^x
du/dx={√(e^x-1)}'
=1/(2·(e^x-1))·(e^x-1)'
=e^x/(2·(e^x-1))
所以
dy/dx=(dy/du)/(du/dx)
=1-1/e^x · e^x/(2·(e^x-1))
=1-1/(2·(e^x-1))
=3/2-1/(2e^x）