已知函数f( x)在点x=1处可导,求f( x)的导函数。
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1/x的导函数是-1/x²。
做法有以下两种:
(1)定义法:当自变量变化量△x→0时,
f`(x)=lim[f(x+△x)-f(x)]/△x=lim[1/(x+△x)-1/x]/△x=lim[-1/x(x+△x)]=-1/x²;
(2)公式法:1/x可以写成x^(-1),是幂函数,对于幂函数x^n求导公式为:nx^(n-1),所以将n=-1带入,即可得到导函数为-x^(-2),也就是-1/x²。
说明:
(1)导数定义:设函数在点x0的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量Δx(点仍在该邻域内)时,相应地函数取得增量Δy;如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点x0处的导数。
(2)常用导函数公示表(本题中用的公式2)
⒈y=c(c为常数), y'=0
⒉y=x^n, y'=nx^(n-1)
3.y=a^x, y'=a^xlna
y=e^x, y'=e^x
⒋y=logax(a为底数,x为真数) y'=1/(x*lna)
y=lnx, y'=1/x
⒌y=sinx, y'=cosx
⒍y=cosx, y'=-sinx
⒎y=tanx, y'=1/cos²x=sec²x
⒏y=cotx, y'=-1/sin²x=-csc²x
⒐y=arcsinx, y'=1/√(1-x^2)
⒑y=arccosx, y'=-1/√(1-x^2)
⒒y=arctanx, y'=1/(1+x^2)
⒓y=arccotx, y'=-1/(1+x^2)
做法有以下两种:
(1)定义法:当自变量变化量△x→0时,
f`(x)=lim[f(x+△x)-f(x)]/△x=lim[1/(x+△x)-1/x]/△x=lim[-1/x(x+△x)]=-1/x²;
(2)公式法:1/x可以写成x^(-1),是幂函数,对于幂函数x^n求导公式为:nx^(n-1),所以将n=-1带入,即可得到导函数为-x^(-2),也就是-1/x²。
说明:
(1)导数定义:设函数在点x0的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量Δx(点仍在该邻域内)时,相应地函数取得增量Δy;如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点x0处的导数。
(2)常用导函数公示表(本题中用的公式2)
⒈y=c(c为常数), y'=0
⒉y=x^n, y'=nx^(n-1)
3.y=a^x, y'=a^xlna
y=e^x, y'=e^x
⒋y=logax(a为底数,x为真数) y'=1/(x*lna)
y=lnx, y'=1/x
⒌y=sinx, y'=cosx
⒍y=cosx, y'=-sinx
⒎y=tanx, y'=1/cos²x=sec²x
⒏y=cotx, y'=-1/sin²x=-csc²x
⒐y=arcsinx, y'=1/√(1-x^2)
⒑y=arccosx, y'=-1/√(1-x^2)
⒒y=arctanx, y'=1/(1+x^2)
⒓y=arccotx, y'=-1/(1+x^2)
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