Question

求一阶线性微分方程的通解，没有看懂答案

Answer 1

求一阶线性微分方程的通解，没有看懂答案

求微分方程 ylnydx+(x-lny)dy=0的通解
解：P=ylny；Q=x-lny；∂P/∂y=1+lny；∂Q/∂x=1；
由于(1/p)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/ylny)(lny)=1/y=H(y);
∴有积分因子μ=e^[-∫H(y)dy]=e^[-∫(1/y)dy]=e^(-lny)=1/y.
用积分因子μ=1/y乘原方程的两边得：lnydx+[(x-lny)/y]dy=0..........①
此时P=lny；Q=(x-lny)/y；∂P/∂y=1/y=∂Q/∂x，故①是全微分方程。
于是通解u(x，y)=∫【0,x】lnydx-∫【0,y】[(lny)/y]dy=xlny-(1/2)ln²y=C;
即原方程的通解为：u(x,y)=xlny-(1/2)ln²y=C
事实上，du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=lnydx+[(x/y)-(lny)/y]dy
=lnydx+[(x-lny)/y]dy=0就是①式。
将①的两边同乘以y，即得：ylnydx+(x-lny)dy=0，这就是原方程。

求一阶线性微分方程的通解！谢谢

sˊ(x)+ s(x)=e^x
相应的齐线性方程
sˊ(x)+ s(x)=0的解为s(x)=C e^（-x）
用常数变异，或者直接用公式可得C（x）=1/2e^x+Cˊ
所以原方程的解为 s(x)=（1/2e^x+Cˊ）e^（-x）

y'=2xy
∫dy/y = 2∫xdx
ln|y| = x^2 +C'
y = Ce^(x^2)

大学里的数学题目
在这里不容易得到
准确的答案的

求一阶线性微分方程通解。。

以y为自变数，方程变形为dx/dy-x/y＝2lny+1。
先解dx/dy-x/y=0，分离变数dx/x=dy/y，两边积分lnx＝lny+lnC，所以x＝Cy。
设原方程的解是x＝yC(y)，代入得C'(y)=(2lny+1)/y，所以C(y)=lny+(lny)^2+C。
所以，原方程的通解是x＝y[lny+(lny)^2+C]。

求一阶线性微分方程的通解，详细过程。

一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。
一阶齐次线性微分方程的通解
对于一阶齐次线性微分方程：
其通解形式为：
其中C为常数，由函式的初始条件决定
一阶非齐次线性微分方程的通解
对于一阶非齐次线性微分方程：
其通解形式为：
其中C为常数，由函式的初始条件决定
dx/dy+1/(ylny)*x=1/y
x=e^(∫-1/(ylny)dy){∫1/y*e^[∫1/(ylny)*dy]dy+C}
=1/lny[∫(-1/y*lny)dy+C]
=1/lny[-1/2*ln^2(y)+C]

求这个一阶线性微分方程的通解

y'+y=e^(-x)
e^x(y'+y)=1
(ye^x)'=1
两边积分：ye^x=x+C
y=e^(-x)(x+C)

一阶线性微分方程，通解，谢谢

求微分方程 y'=(y+lnx)/x 的通解。
解：y'-(y/x)=(lnx)/x.........①；先求齐次方程y'-(y/x)=0的通解：
分离变数得：dy/y=dx/x；积分之得：lny=lnx+lnc₁=lnc₁x;
故齐次方程的通解为：y=c₁x；将c₁换成x的函式u，得：y=ux..........②
对②取导数得：y'=u+xu'.........③；将②③代入原式得：u+xu'=(ux+lnx)/x=u+(lnx)/x
化简得xu'=(lnx)/x；故u'=(lnx)/x²，即du=[(lnx)/x²]dx；∴u=∫[(lnx)/x²]dx.............④
令lnx=t，则x=e^t，dx=e^tdt；代入④式得：u=∫[(t/e^2t)](e^t)dt=∫te^(-t)dt
=-∫td[e^(-t)]=-[te^(-t)-∫e^(-t)dt]=-te^(-t)+∫e^(-t)dt=-te^(-t)-∫e^(-t)d(-t)
=-te^(-t)-e^(-t)+c=-(t+1)/e^t+c=-[(1+lnx)/x]+c；代入②式即得原方程的通解为：
y=x{-[(1+lnx)/x]+c}=cx-1-lnx;

这个一阶线性微分方程的通解怎么求

y'-2xy=0的通解是y＝Ce^(x^2)，所以y'-2xy=q(x)的通解是y＝Ce^(x^2)+φ(x)。

一阶线性微分方程通解。根号

1、楼主问的问题是涉及积分因子的问题，而求积分因子的目的是在寻求全微分；
2、也就是说，在微分方程的左侧乘以一个积分因子，就使得左侧变成全微分形式。
3、如果在积分中加入积分因子，结果只是等于在积分因子前，乘上了一个e^c的常
数，这个常数对全微分没有丝毫贡献，也没有丝毫影响。所以，通常就省去了。
4、左侧乘上积分因子后，右侧同样乘以积分因子，因为左侧的导函式、原函式都
一次性地解决了，方程的右侧变成了一个单纯的积分问题，不再涉及导函式与原
函式的纠缠。
如有不明白之处，欢迎追问。